Konstante Zu- und Abflüsse (Veränderungen)

Unser erstes Modell:

Ein (großer) Eimer wird unter einen Wasserhahn gestellt. Der Wasserhahn wird geöffnet und ein konstanter Wasserstrom von
2 Litern pro Minute fließt in den Eimer, d.h. der Inhalt nimmt linear zu.

-          eimer0.dyn

Die Mathematik dazu:
Der Zuwachs im Eimer dE ist das Produkt aus dem Zuflussmenge
pro Zeit (Wasserhahnstellung) w mit der Zeitspanne dt:
dE = w· dt
Nach einer Zeit t (von t1 bis t2) befindet sich im Eimer die Gesamtmenge
    (einfacher als E = w·t bekannt).

Erste Verbesserung: Der Eimer hat nur 20 Liter Fassungsvermögen! Wenn mehr Wasser in den Eimer gelangt, fließt es durch
den Überlauf wieder ab. Für den Überlauf wird also die Bedingung wenn (Eimer > 20;Wasserzufluss;0) eingetragen. Die Syntax
der "wenn"-Funktion ist wie in Excel: "wenn (<Bedingung>;<dann>;<sonst>)".

-          eimer01.dyn


Die Ausgabe des Zeitdiagramms sieht dann so aus

Achtung: Wenn man unter "Simulation -> Numerik" das Zeitintervall auf 1.0(s) stellt, bleibt mehr als 20l im Eimer! Warum?

Zweite Verbesserung: Wasser kostet Geld! Machen wir unseren Wasserhahn intelligent, indem wir nur dann Wasser zulaufen
lassen, wenn der Inhalt<20 ist!

"wenn (Eimer<20;Wasserhahn;0)"


Die Ausgabe sollte nun anders aussehen! - eimer02.dyn
Damit haben wir unser erstes dynamisches System "mit Regelung" erzeugt.


Proportionale Veränderungen

Veränderliche Ströme

Bislang waren Zufluss/Abfluss zeitlich konstant. Wie verhält sich aber z.B. der Abfluss aus einem Loch im Boden eines Eimers?

Sehen wir uns die Ausgabe an! - eimer1.dyn

Das Ergebnis ist offensichtlich falsch (die Lochgröße und -form soll im Moment nicht weiter von Bedeutung sein).
Die abfließende Menge pro Zeiteinheit hängt ab vom Druck, damit von der Wasserhöhe, bei Eimern mit senkrechter Wand also
einfach von der Füllmenge.
Genauer gesagt: Die Änderungsrate der Wassermenge zu einem Zeitpunkt t ist proportional zur vorhandenen Menge zum Zeitpunkt t !
Mit einer Konstanten "Lochgroesse" und der Füllmenge als Wirkungsgröße ergibt sich dann der Abfluss aus dem Produkt der
beiden Größen.
Für den Mathematiker: m'(t) = Lochkonstante * m(t)
Weitere Einflüsse könnte man durch einen zusätzlichen konstanten Faktor erfassen.

Die Formel für Abfluss heißt hier: "Eimer·0.1", also Füllhöhe · Faktor, d.h. in diesem Beispiel fließt jeweils 10% des Eimerinhalts pro Zeiteinheit ab!

Und so sieht die Ausgabe aus: - eimer2.dyn


Die Gleichungen aus Dynasys lauten:
Zustandsgleichungen
Eimer.neu <-- Eimer.alt + dt*(-Abfluss)
Startwert Eimer = 1000
Zustandsänderungen
Abfluss = Eimer·0*1

Etwas Mathematik dazu:

Der zeitliche Abfluss aus dem Eimer dE ist das Produkt aus der Restmenge im Eimer mit einem Faktor a, in dem die Lochgröße usw. enthalten ist. Die Abnahme im Eimer ist also proportional zur noch vorhandenen Menge:
dE = E · a · dt    oder    dE/dt = a · E  oder  E'(t) = a · E(t)
Eine solche Gleichung, bei der eine Größe (E) und ihre Ableitung(en) vorkommen, nennt man Differentialgleichung.

Obige Differentialgleichung läßt sich mit den Mathematikkenntnissen aus Jahrgang 13 leicht lösen, wenn man für E
die Funktion E(t) = Eo·e-k·t einsetzt, da man weiß, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion wieder eine Exponentialfunktion
ist.

Vorgänge, bei denen eine Zu- oder Abnahme proportional zur momentan vorhandenen Menge ist, werden durch Exponentialfunktionen f(t) = A•ekt beschrieben!
A beschreibt den Anfangswert zum Zeitpunkt t=0.
Ist k positiv, handelt es sich um eine Zunahme (Wachstum), ist k negativ, handelt es sich um eine Abnahme.

Welchen Wert haben Eo und k?

In den Naturwissenschaften spielt die Zeit, in der eine Menge genau auf die Hälfte abnimmt, eine besondere Rolle. Diese "Halbwertzeit" lässt sich leicht berechnen und an obigem Beispiel nachprüfen:

Wenn gilt E(t) = Eo·e-k·t, außerdem E(t) = 1/2 Eo sein soll und k=0,1 ist, dann folgt
1/2 Eo =Eo·e-0.1·t
Kürzen mit Eo und Logarithmieren bringt: ln(1/2) = -0.1·t, nach t aufgelöst ergibt somit tH = 6,93s, was in obigem Schaubild (oder noch besser in der Tabelle von Dynasys) zu sehen ist: In jeweils 6,93s (von einem beliebigen Zeitpunkt an!) hat sich die Menge halbiert.

 


 

Überlagerung von konstanten und proportionalen Veränderungen

Eimer füllen einmal anders:

Haben Sie schon mal versucht, einen Eimer zu füllen, der ein Loch hat?

Wie "voll" der Eimer wird, hängt nur davon ab, in welchem Verhältnis der (konstante) Zufluß zum Abfluß steht.
Letzterer hängt aber wieder von der Füllhöhe ab.

Das Ergebnis:

Es ist leicht einzusehen, dass eine "stabile" Wassermenge dann erreicht ist, wenn der Zufluss gleich dem Abfluss ist.
Hier ist Abfluss=2, wenn der Eimer 20 l enthält.


Zustandsgleichungen
Eimer.neu <-- Eimer.alt + dt*(Zufluss-Abfluss)
Startwert Eimer = 0

Zustandsänderungen
Abfluss = Eimer*0.1
Zufluss = Wasserhahn

Konstanten
Wasserhahn = 2

Etwas Mathematik dazu:

Die Zunahme im Eimer ist w · dt,
die Abnahme im Eimer ist wieder proportional zur noch vorhandenen Menge, also E · a · dt

Insgesamt ist also die Veränderung im Eimer
dE = w · dt - E · a · dt = (w - E·a) · dt    

Für eine solche Gleichung läßt sich der Ansatz
E(t) = Ee · (1 - e-k·t) finden.

(Ee ist der Endwert/Grenzwert.)

Welche Werte haben Ee und k hier?


Verkettung von proportionalen Veränderungen

Bis hier war also alles noch recht einfach und außerdem mathematisch leicht lösbar.
Nehmen wir deshalb einmal zwei Eimer, die beide ein Loch haben. Der erste Eimer ist zu Beginn gefüllt und läuft
in den zweiten Eimer aus, der zu Beginn leer ist! Der Zufluss im zweiten Eimer ist nun weder konstant noch von
seinem Inhalt abhängig, sondern gleich dem Abfluss des ersten Eimers, während sein Abfluss proportional zu seinem
Inhalt ist.

Zustandsgleichungen
Eimer2.neu <-- Eimer2.alt + dt*(Abfluss1-Abfluss2)
Startwert Eimer2 = 0
Eimer1.neu <-- Eimer1.alt + dt*(-Abfluss1)
Startwert Eimer1 = 20

Zustandsänderungen
Abfluss2 = Eimer2*0.1
Abfluss1 = 0.2*Eimer1

...und so sieht das Ergebnis aus:

Die Funktion für Eimer 1 hat natürlich die bekannte Form und ist leicht zu berechnen. Der Zufluss für Eimer 2 ist aber nun
nicht mehr linear, sondern eine e-Funktion. Die Differentialgleichung für Eimer 2 wäre nun
dE2 = E1(t)· a1 · dt - E2(t) · a2 · dt = (E1(t)·a1 - E2(t)·a2) · dt   oder
E2'(t) = E1(t)· a1 - E2(t) · a2 

Man kann ahnen, dass nun eine mathematische Lösung schon etwas schwieriger wäre.
Im Rahmen der Überlegungen zu Modellen wollen wir uns deshalb im Folgenden darauf beschränken,
Differentialgleichungen aufzuschreiben und sie in das jeweilige Modell einzubauen. Die Lösungen soll uns
dann das Programm als Graphiken zeigen.

Zusatzaufgabe:

Noch'n Eimer: Der zweite Eimer läuft in einen dritten, der KEIN Loch hat.
Ergebnis? Wer hätte das gedacht?


Beispiele für lineare und quadratische Veränderungen:

1. Die neuen S-Bahnen der GVH beschleunigen in den ersten 20 Sekunden annähernd gleichmäßig. In jeder Sekunde
nimmt die Geschwindigkeit um 2 m/s zu. Welche Strecke wird in den ersten 20 Sekunden zurückgelegt?


Das Modell:
Zustandsgleichungen
Geschwindigkeit.neu <-- Geschwindigkeit.alt + dt*(Beschleunigung)
Startwert Geschwindigkeit = 0
Gesamtstrecke.neu <-- Gesamtstrecke.alt + dt*(Wegzunahme)
Startwert Gesamtstrecke = 0

Zustandsänderungen
Beschleunigung = 2
Wegzunahme = Geschwindigkeit


Für Physiker ist die letzte Zustandsänderung evtl. erklärungsbedürftig:
Für ein hinreichend kleines Zeitintervall ist der Betrag der Wegzunahme pro Zeiteinheit gleich dem Betrag der Momentangeschwindigkeit.
Es gelten natürlich die physikalischen Gesetze: v=a*t und s=1/2 a*t2

 

Mathematisch wurde hier modelliert:

dv=a*dt und ds = v*dt, die erste Gleichung integriert ergibt v=a*t,
eingesetzt in die zweite: ds = a*t*dt, das Integral ergibt s=1/2 a*t2,
die Parabel für den Weg ist in der Graphik zu erkennen.

2. Beantworten Sie mit obigem Modell:
Eine Kugel fällt im freien Fall (in Erdnähe, ohne Berücksichtigung der Luftreibung) mit einer Geschwindigkeitszunahme
von 9,81 m/s in jeder Sekunde. Welche Strecke ist die Kugel gefallen, wenn sie (theoretisch) Schallgeschwindigkeit (330 m/s)
erreicht hat?

3. Radfahrer wissen, dass die Luft einen erheblichen Widerstand haben kann. Dieser ist leider nicht proportional zur
Geschwindigkeit. Für nicht zu hohe Geschwindigkeiten lässt sich aber für die Abbremsung durch die Luft
mit folgender Formel ein gutes Ergebnis erzielen:

Fluft = 1/2 * cw * r * A * v2   wobei

cw = Widerstandsbeiwert = 0.45 für eine Kugel,
r = Dichte der Luft= 1.29 kg/m3,
A = Querschnittsfläche und
v = Momentangeschwindigkeit.

Es gilt für eine Kugel der Masse m:
g=Fg/m, aluft =Fluft/m sowie aeff = g - aluft .
Die effektive Beschleunigung einer fallenden Kugel mit der Querschnittsfläche 100cm2 (=0.01m2) und der Masse m ergibt sich somit zu
aeff = (9.81*m - 1/2*0.45* 1.29*0.01* v2)/m (in m, kg und s)
Zustandsgleichungen
Gesamtstrecke.neu <-- Gesamtstrecke.alt + dt*(Wegzunahme)
Startwert Gesamtstrecke = 0
Geschwindigkeit.neu <-- Geschwindigkeit.alt + dt*(Beschleunigung)
Startwert Geschwindigkeit = 0

Zustandsänderungen
Beschleunigung = (Erdanziehungskraft-Luftwiderstand)/Masse
Wegzunahme = Geschwindigkeit

Konstanten
Querschnittsflaeche = 0,01
Masse = 5 (bitte variieren!)

Zwischenwerte
Erdanziehungskraft = 9.81*Masse
Luftwiderstand = 0.5*0.45*1.29*Querschnittsflaeche*Geschwindigkeit*Geschwindigkeit

Wie schnell wird die Kugel beim Fall? (Achtung: Ausgabe der Kurve in m/s)

 

Wir fassen zusammen:
Zusammenfassung
Die zeitliche Änderungsrate ist immer die Ableitung der Zustandsmenge!
(genau das sagt auch der Begriff "Ableitung" !)
Änderungsrate Graph der Zustandsmenge
konstant linear
linear quadratisch
quadratisch kubisch (usw.)
proportional zur
Zustandsmenge
exponentiell

 

Aufgaben:
1. Skydiven

Die englische Bezeichnung für das Fallschirmspringen – Skydiven ist da schon treffender: Himmelstauchen.
Mit einem Sprung tauchen die Springer in das Himmelsblau ein und geben sich dem Element ganz hin.
Kurz nach dem Absprung erreicht der Springer seine Fluggeschwindigkeit. Dann hat sich unter ihm ein
Luftpolster aufgebaut. Mit minimalen Bewegungen kann der Springer dann seine Position verändern.
Die durch den freien Fall entstehende Luftanströmung macht’s möglich.

Ein Fallschirmspringer erreicht beim sogenannten "Bauchfliegen" eine Fallgeschwindigkeit von ca. 220km/h, das
sind etwa 60m/s, bei einem Gewicht von 90kg (incl. Ausrüstung) und einem Querschnitt von ca. 0,8m2.
Wie groß ist demnach sein cw-Wert in dieser Fluglage? (Erstellen Sie das Modell und variieren Sie den cw-Wert!)
Die höchsten Geschwindigkeiten von ca. 350 km/h erreichen die Springer im Headdown – in vertikaler Position mit
dem Kopf nach unten. In sogenannten Speedwettbewerben wurden schon Höchstgeschwindigkeiten von fast 500 km/h
unter Ausnutzung aller aerodynamischer Finessen erreicht.
Welcher cw-Wert ist notwendig, wenn man die Querschnittsfläche auf 0,4 m2 verringert ?
Zum Vergleich: Der Porsche Cayman hat den cw-Wert 0,29, hier ein paar weitere Werte...

2. Im Jahre 1616 beschäftigte sich der in Venedig lebende ungarische Mathematiker Fauste Veranzio mit dem Fallschirm.
In seiner technischen Abhandlung ist die Abbildung des "homo volans" (fliegender Mensch) enthalten. Sein Schirm bestand
aus einem 8 x 8 m großen Tuch, welches mit einem Holzrahmen versteift war, von dem vier Schnüre ausgingen, welche
der Springer sich um den Leib schlang. Mit welcher Fallgeschwindigkeit musste ein Springer (Gesamtgewicht 100kg) rechnen,
wenn man einen cw-Wert des Systems von 1,2 annimmt?


Andere Näherungsmöglichkeiten:

Manche proportionalen Veränderungen lassen sich ebenso gut mit bekannten Tabellenkalkulationssystemen
darstellen.
Setzen Sie die folgenden drei Beispiele auch mit EXCEL um! Erläutern Sie ggf. Abweichungen der Werte!

 

Beispiele für proportionale Veränderungen:

1. Eine neu gebaute Mini-Talsperre (Anfangsinhalt 10000 m3) mit Wasserkraftwerk hat einen Zufluss von 80 m3/s.
Das Wasserkraftwerk entnimmt 0,1% des Inhalts je Sekunde. Nach welcher Zeit ist die Kraftwerksleistung
etwa auf ihrem maximalen Wert (auf 50%, 90% ihres maximalen Werts)? (Excel-Programm)

2. Chemische Reaktion erster Ordnung:
Bei chemischen Reaktionen erster Ordnung ist die Reaktionsgeschwindigkeit bei konstanter Temperatur
proportional zu der Konzentration c eines Reaktionspartners. Seien A und B zwei Stoffmengen (in stöchiometrischem
Verhältnis) und a bzw. b die Konzentration von (reinem) A und (reinem) B in der Gesamtmischung.
Dann gilt   -da/dt = k1·A   oder   -db/dt = k2·B
oder in Worten:
A geht mit der Menge k1·A(t) und B mit der Menge k2·B(t) pro Zeiteinheit in Reaktion, vermindert sich also um diese.

Erstellen Sie das Modell für die Reaktionsgeschwindigkeit von A!  (Excel-Programm)
(Werte für Modell: A=100, k=0,05)

Mathematischer Hintergrund:

Wir erkennen also, dass hier wieder eine e-Funktion als Lösung der Differentialgleichung benutzt werden kann. Mit Anwendung der Integrationsregeln erhält man   a(t)=ao·e-k·t
Die Größen ao und k bestimmt man z.B. aus Messungen mit  ao=a(0)
und für eine beliebige Zeit t ist:
-ln (a(t)/ao) = k·t, also k=-ln((a(t)/ao)

3. In der Biologie wird das Wachstum von Bakterien in einer Nährlösung dadurch gekennzeichnet, dass die
Menge der Bakterien in gleichen Zeitabständen um jeweils einen konstanten Faktor zunimmt, zum Beispiel
sich alle 10 Stunden verdoppelt. Es gilt also   dB/dt = k · B.
a) Erstellen Sie ein Modell für das Wachstum von B! Finden Sie den richtigen k-Wert experimentell!
Warum zeigt das Excel-Programm hier eine stärkere Abweichung, wenn man in 10-Stunden-Schritten rechnet?
b) Warum kann das Modell aus a) nur für eine begrenzte Zeit t gelten?  Wie muss das Modell verändert werden,
um die Bedingungen für längere Zeiten zu berücksichtigen, z.B. Bakterien in einer Petrischale?

Hinweise zum Modell b Die Zunahme wird einerseits bestimmt durch dB/dt = k · B und andererseits durch das Verhältnis der
"noch möglichen" Bakterien zu den "maximal möglichen" Bakterien (Bmax - B) / Bmax

4. Kondensator-Entladung:
a) Ein geladender Kondensator wird an einen Widerstand angeschlossen.
Es gilt das Ohmsche Gesetz U=R·I und das Kondensator-Gesetz Q=C·U.
Außerdem gilt I=Q/t bzw. für veränderliche Ströme I=dQ/dt.
I ist nach dem Ohmschen Gesetz proportional zu U, nach dem Kondensator-Gesetz also auch zu Q.
Somit ist I=dQ/dt=k·Q !

Erstellen Sie das Modell für den zeitlichen Verlauf von Q! Geben Sie auf den Verlauf von U aus!

Mathematischer Hintergrund:

Natürlich wird hier wieder eine e-Funktion als Lösung der Differentialgleichung benutzt.
Man erhält Q(t)=Qo·e-k·t, und da Qo=Uo·C ist: U(t)=Uo·e-k·t oder auch I(t)=Io·e-k·t.
Die Größe k bestimmt man mit der Ableitung dQ/dt = -k·Qo·e-k·t.
Da -dQ/dt = I(t) und außerdem I(t) = U(t)/R, gilt also -U(t)/R=-k·Uo·C·e-k·t oder umgeformt -U(t)=-k·Uo·R·C·e-k·t.
Vergleicht man mit der ersten Gleichung für U(t), so muss k·Uo·R·C=Uo sein, also k=1/(RC).

b) Der Kondensator werde nun von einer Spannungsquelle Uo über einen Widerstand R aufgeladen. Der Strom, der den
Kondensator auflädt, berechnet sich nun aus der Differenzspannung zwischen Uo und der Spannung am Kondensator.
Somit ist dUC/dt = k·(Uo - UC) / R. Erstellen Sie das Modell für den zeitlichen Verlauf von UC!

Mathematischer Hintergrund:

Aufladung über R : Man mache sich klar, dass nun der Strom am Widerstand denselben Verlauf wie unter a), aber in umgekehrter Richtung hat!

I(t=0) = I0 = U0/R ; UC(t = 0) = 0:
I=Io·e-k·t und U/R=Io·e-k·t, somit

UC=(Uo - UR)=Uo(1 - e-k·t) mit k=1/(RC)




Vorgänge, bei denen eine Zunahme proportional zur Differenz zwischen vorhandener Menge und einem Endwert ist, werden durch Exponentialfunktionen f(t) = Ae•(1-e-kt) beschrieben!
Ae beschreibt den Endwert/Grenzwert des zeitlichen Verlaufs.


6. Chemische Reaktion zweiter Ordnung:
Bei chemischen Reaktionen zweiter Ordnung ist die Reaktionsgeschwindigkeit bei konstanter Temperatur
proportional zum Quadrat der Konzentration a eines Reaktionspartners A oder dem Produkt zweier
Reaktionspartner. Seien A und B zwei Stoffmengen (wieder in stöchiometrischem Verhältnis) und
a bzw. b die Konzentration von (reinem) A und (reinem) B in der Gesamtmischung.
Dann gilt   -da/dt = k·a² . Erstellen Sie das Modell für die Reaktion von A und vergleichen Sie mit Aufg. 2! 


7. Ein komplexeres System aus der Biologie

Hasen vermehren sich bekanntlich relativ schnell. Sei hier einmal eine Geburtenrate von 0,08 pro Hasenpaar und Tag angenommen, dann ergibt sich die Gleichung für Hasen_Zuwachs dH/dt = H/2 * G.
Ihre Lebenserwartung ist aber auch nicht besonders hoch, wir nehmen einmal eine Sterberate von 0.035 pro Tag für die Hasen_Abnahme an, dann ergibt sich für die Abnahme dH/dt = -H * S.

Die mathematische Differentialgleichung lautet also:

dH/dt = H/2 * G - H * S

Somit erhalten wir die untenstehenden Modellgleichungen und das folgende Modell. Die Ausgabe (rechts) ist nach den Zahlenwerten nicht anders zu erwarten.

Zustandsgleichungen
Hasen.neu <-- Hasen.alt + dt*(Hasen_Zuwachs-Hasen_Abnahme)
Startwert Hasen = 200

Zustandsänderungen
Hasen_Zuwachs = Hasen/2*Geburtenrate
Hasen_Abnahme = Sterberate*Hasen

Konstanten
Sterberate = 0.035
Geburtenrate = 0.08

Die Hasenanzahl nimmt exponentiell zu. Das entspricht natürlich nicht der Realität. Nach den vorangegangenen
Erfahrungen ist ein "unbegrenztes Wachstum" nur dort möglich, wo keine äußeren Beschränkungen auftreten.
Letztere gibt es aber in der Natur reichlich. Sei als erstes einmal das Nahrungsangebot betrachtet:
Hasen fressen vorwiegend Nahrung, deren Wachstum und Angebot jahreszeitlich schwankt.
Andererseits wird (z.B. auf Inseln) die "Weidefläche" auch in der Größe begrenzt.

Wenn wir für ein verbessertes Modell einmal annehmen, dass ein unbegrenztes Wachstum nur bei einem
100-prozentigen Futterangebot möglich ist und bei weniger Futterangebot die Vermehrung proportional
(mit dem Bruch "Weide_frei") sinkt, so sieht das Modell nun folgendermaßen aus:

Zustandsgleichungen
Hasen.neu <-- Hasen.alt + dt*(Hasen_Zuwachs-Hasen_Abnahme)
Startwert Hasen = 200

Zustandsänderungen
Hasen_Zuwachs = Hasen/2*Geburtenrate*Weide_frei
Hasen_Abnahme = Sterberate*Hasen

Konstanten
Weidekap_Hasen = 1000
Sterberate = 0.02
Geburtenrate = 0.08

Zwischenwerte
Weide_frei = (Weidekap_Hasen-Hasen)/Weidekap_Hasen

Wie sieht nun der zeitliche Verlauf für die Hasenpopulation aus?

Die mathematische Differentialgleichung lautet nun: dH/dt = H/2 * G*(WH-H)/H - H * S

 

Weiterhin könnte man noch überlegen, ob auch die Sterberate vom Futterangebot abhängig sein soll.


9. Zeitliche Änderung der Randbedingungen:

Als nächstes soll hier eine jahreszeitliche Schwankung des Nahrungsangebots modelliert werden. Der
Einfachheit halber wird dies mit einer Veränderung der "Weidekapazität" simuliert. Dazu ist es möglich, diese
in einer Tabellenform zeitlich gestaffelt anzugeben. Die Tabelle ruft man mit einem Doppelklick auf
"Weidekap_Hasen" auf und wählt dann die Option "Tabellenfkt. bearbeiten". Hier ist ein Beispiel für einen
Zeitraum von zwei Jahren (730 Tage) und eine maximale Kapazität von 1000.

Der Zeitraum wird an der x-Achse vorgegeben, die möglichen Funktions-werte an der y-Achse. Die einzelnen Werte stellt man an der Grafik mit der Maus ein.
Zustandsgleichungen
Hasen.neu <-- Hasen.alt + dt*(Hasen_Zuwachs-Hasen_Abnahme)
Startwert Hasen = 200

Zustandsänderungen
Hasen_Zuwachs = Hasen/2*Geburtenrate*Weide_frei
Hasen_Abnahme = Sterberate*Hasen

Konstanten
Sterberate = 0.02
Geburtenrate = 0.08

Zwischenwerte
Weidekap_Hasen = Tabelle(Zeit)
((0.00;195.22)(73.00;494.02)(146.00;792.83)(219.00;932.27)
(292.00;689.24)(365.00;203.19)(438.00;529.88)(511.00;832.67)
(584.00;792.83)(657.00;561.75)(730.00;187.25))
Weide_frei = (Weidekap_Hasen-Hasen)/Weidekap_Hasen

Die mathematischen Differentialgleichungen müssten nun für jeden Abschnitt getrennt betrachtet werden.

10. Modellierung mit Verzögerungen:

Im vorliegenden Modell ist die Tragzeit der Häsinnen noch nicht berücksichtigt!
Recherchieren Sie entsprechende Daten und erweitern Sie das Modell um einen
zeitverzögerten Zuwachs!
Auch die "Setz-Zeit" ist eingeschränkt! Modellieren Sie weiter!

 

Modelle mit komplexeren Zusammenhängen

1. Biologie

Das Hasen-Beispiel aus dem ersten Abschnitt ist noch nicht komplett. Wo Hasen leben, gibt es auch Füchse!

Füchse können sich nur vermehren, wenn sie Nahrung (hier: Hasen) haben. Wenn sich Füchse und Hasen treffen, ist das schlecht für die Hasen, aber gut für die Füchse. Die Zuwachsrate der Füchse wird hier vereinfacht als proportional zur Anzahl der Hase-Fuchs-Treffen gesetzt, ebenso die Sterberate der Hasen. Je mehr Hasen es gibt, desto mehr nehmen die Füchse zu, desto mehr werden Hasen gefressen....

Somit erhalten wir die nebenstehenden Modellgleichungen und das folgende Modell (aus hasen2.dyn erweitert).


Zustandsgleichungen
Hasen.neu <-- Hasen.alt + dt*(Hasen_Zuwachs-Hasen_Abnahme)
Startwert Hasen = 200
Fuechse.neu <-- Fuechse.alt + dt*(Fuchs_Zuwachs-Fuchs_Abnahme)
Startwert Fuechse = 50

Zustandsänderungen
Hasen_Zuwachs = Hasen/2*Geburtenrate*Weide_frei
Hasen_Abnahme = 0.001*Hase_trifft_Fuchs
Fuchs_Zuwachs = 0.0005*Hase_trifft_Fuchs
Fuchs_Abnahme = Fuechse*Sterberate_Fuechse

Konstanten
Geburtenrate = 0.08
Sterberate_Fuechse = 0.02

Zwischenwerte
Weidekap_Hasen = Tabelle(Zeit)
((0.00;195.22)(73.00;494.02)(146.00;792.83)
(219.00;932.27)(292.00;689.24)(365.00;203.19)
(438.00;529.88)(511.00;832.67)(584.00;792.83)
(657.00;561.75)(730.00;187.25))
Weide_frei = (Weidekap_Hasen-Hasen)/Weidekap_Hasen
Hase_trifft_Fuchs = Hasen*Fuechse

Das Modell ist sehr empfindlich gegen Veränderungen der Parameter - wie häufig auch in der Natur.
Man muss sorgfältig abstimmen, um zu einem guten Modell zu kommen.
Die verschiedenen Konstanten sind dabei die "Stellschrauben".
Interessant auch: Setzt man die Sterberate der Füchse etwas höher (z.B. Ausbruch einer Seuche), ergibt sich
plötzlich ein von der Nahrung unabhängiges "Zwischenhoch" für die Hasenanzahl.

Aufgaben:
a) Die hier benutzten Werte sind noch nicht besonders "naturnah"!
Modellieren Sie Fuchs_Zuwachs und Hasen_Abnahme noch genauer!
b) Ändern Sie das Nahrungsangebot der Hasen im Winter und beobachten Sie die Auswirkungen!


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© H. Wessels, 2005